Was ist geometrische verteilung?

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Versuche modelliert, die erforderlich sind, um den ersten Erfolg in einer Folge von unabhängigen Bernoulli-Versuchen zu erzielen. Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit p) und Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit 1-p).

Kernpunkte:

• Definition: Modelliert die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg.
• Bernoulli-Versuche: Basiert auf einer Sequenz unabhängiger Bernoulli-Versuche.
• Parameter: Die Verteilung wird durch einen einzigen Parameter p bestimmt, die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch.

Zwei Varianten:

Es gibt zwei gebräuchliche Definitionen der geometrischen Verteilung:

1. Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg: Hier zählt X die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, einschließlich des erfolgreichen Versuchs. Siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Erfolgsrate
2. Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg: Hier zählt X die Anzahl der Misserfolge, bevor der erste Erfolg eintritt.

Die Wahl der Definition beeinflusst die Form der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Wahrscheinlichkeitsfunktion (Probability Mass Function, PMF):

• Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg:

  P(X = k) = (1 - p)^(k - 1) * p für k = 1, 2, 3, ...

• Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg:

  P(X = k) = (1 - p)^k * p für k = 0, 1, 2, 3, ...

Erwartungswert und Varianz:

• Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg:

  • Erwartungswert: E[X] = 1/p
  • Varianz: Var[X] = (1 - p) / p^2

• Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg:

  • Erwartungswert: E[X] = (1 - p) / p
  • Varianz: Var[X] = (1 - p) / p^2

Gedächtnislosigkeit (Memorylessness):

Die geometrische Verteilung besitzt die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Erfolg in den nächsten k Versuchen zu erzielen, unabhängig davon ist, wie viele Misserfolge bereits aufgetreten sind. Mathematisch ausgedrückt:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Anwendungen:

Die geometrische Verteilung findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie z.B.:

• Qualitätskontrolle: Bestimmung der Anzahl der produzierten Artikel, bis ein fehlerhafter Artikel gefunden wird. Siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Qualitätskontrolle
• Glücksspiele: Modellierung der Anzahl der Würfe, die benötigt werden, um eine bestimmte Zahl zu würfeln.
• Kundenakquise: Anzahl der Anrufe, die ein Verkäufer tätigen muss, um einen Kunden zu gewinnen.
• Zuverlässigkeitstheorie: Modellierung der Zeit bis zum Ausfall einer Komponente. Siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Zuverlässigkeitstheorie

Zusammenhang mit anderen Verteilungen:

Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der negativen Binomialverteilung, wenn die Anzahl der Erfolge r = 1 ist. Siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Negative%20Binomialverteilung